[这个贴子最后由gauss在 2004/04/25 09:12am 第 1 次编辑]

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1。（推荐指数：5）
这里目前主要是题目，我想可否发些知识性的小文章。大家也可以增长一些见识。以前也有人一个建议（tycolion ）
偶尔贴过。
比如各位谁看到比较好的关于数学的文章，例如一个漂亮的定理，一个有趣的故事，历史，知识，学术方面的，都可以。当然要比较精，毕竟这里是以题目为主。
比如我看到的一个关于无理数和罗必达法则的来历，确的挺有趣的。
各位以为如何：）
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3。（推荐指数：4）
染成同色的期望（tycolion）
一个坛子里有 n 个不同颜色的小球。然后每次取出两个，将第二个球染成第一个球的颜色,再把两个球都放回坛子里。问平均需要几次可以将 n 个球都染为同色。
（我问的本意应该是 n 个）
不过问平均需要几次可以将四个球染为同色好像也蛮有趣，不妨想想看。
或更一般的，问平均需要几次可以将 m (1 < m <= n)个球染为同色。

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8 装箱问题【open】【推荐指数“5】
n^n个边长为a1,a2,a3...an的n维长方体可否放入边长为(a1+a2+a3+....an)的n维正方体中
?
当n=1,2时是平凡的,n=3有一定难度
可以证明:如果n,m时可以,则n*m时也可以
2003。4。12

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9。（推荐指数：4。）
一道繁杂的数学题目（tycolion）
一条笔直的河，河的一边有两个房子。现在要从河向通过水槽两个房子引水过来。
问使水槽总长度最短的方案是什么？
如果是三个房子呢？（这个难度恐怕是以几何级数上涨）
显然的，方案与房子与河的相对位置有关。
（引自北大bbs）
原题如下：
如下图：现有一输油管道（无线长为直线） 在管道的一侧有3个工厂a，b，c，
现将管道接入各个工厂，使得任何一工厂能够从输油管输入油
为了节约成本（连接后管道总长最短），试分析最佳方案？
(也可以底下交流，两个工厂的情形我已经解决 )
               a  .     
                             . c         
                    b .

      ----------------------------------
     (  输油管)         
   
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11。（推荐指数:2,感觉不会有简单的答案）
距离的最小值（tycolion）
在任意三角形内找一点到三顶点距离之和最小。
也许很多人以前做过。但大概忘了吧，温故而知新吗。
这样，距离之和，距离平方之和都可解决，那距离立方之和，距离四次方之和，距离 n 次方之和呢，我是不知道了。大家讨论讨论吧。
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12。（推荐指数：3，属于那一类很难找到最优解的那类组合题目）
在边长为1的正方形内取n个点,使得在正方形内的任何其边平行与正方形的边而且面积为1/200的矩形都含有至少一个点?
求n的最小值
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13。（推荐指数：5。感觉结论很奇妙,条件和结论怎么联系在一块的？）
在平面上有可列个园，平面上的任意一条直线都至少跟其中一个园相交或相切
求证对任意N都存在一条直线，至少跟N个园相交
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16。（推荐指数：5，很有趣，如果答案也非常简单，那就更有趣了：）
有一个球状的星球，上面住着一个人。他可以以最大速度1在星球表面上运动，现在有一宇宙飞船从遥远的外太空飞来，问此宇宙飞船的最大速度至少为多少时可以保证追上那个人？  
参考文章:[url=./dispbbs.asp?BoardID=9&ID=121689]外星人的堵截[/url]


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17。（推荐指数：5。感觉也是很奇妙的结论，很有哲学的味道。）【open】

平面上有若干点，每三个点不共线。问你需要几个点能保证其中有6个点组成凸形？  
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19。（推荐指数：3）【open】
数pi（3.14159265358...)的前n位小数的算术平均值是否收敛于4.5？
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20.非周期堆砌（推荐指数：5）【open】
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是否存在单块覆盖模块,使得只有非周期堆砌
题中的堆砌是对于平面来说
这个问题是平面堆砌中的基本问题
关于什么是周期堆砌,请你自己下一个恰当的定义,非周期定义为不是周期
2003。4。12


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21   密堆积问题（推荐指数：5）【open】
n维空间中的m个点满足条件：
任意两个点之间的距离不小于1，问该m点组的直径最小是多少？
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2003。4。12


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26。一个策略问题（推荐指数：3）
有一圆桌，两人轮流放(中国)象棋子在其上面，不准叠置，
谁放不下了就算赢，(注意这里的提法与传统提法不一样)
当然，如果桌面有空地方能放下，则规定必须要放。
那么结果会是什么样的？你愿先放还是后放棋子？
2003。4。12
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27。王后的问题（推荐指数：5）
在n*n的国际象棋棋盘上，至少放需要放多少个“后”，才能使所有格子都被这些“后”所控制（“后”所在的格子视为被控制）。
要精确值
2003。4。12
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31，填充的奥妙（1）（推荐指数：3）【open】
把n个相同的正方形（边长为一）不重合放在一个大正方形内，那么正方形的边长的最小值
是多少？
当n是完全平方数时，答案是显然的。
对于其他的情况，除了n=2，3，5外，没有定论。
n=5是第一个不平凡的例子，大家可以试试。
当然也有一些猜想，比如：
当n=a^2-a时，外围正方形最小边长等于a，但是也已经有人证明当n=40^2-40
时，这个猜想不成立。
Paul Erdos，Graham，Hugh Montgmery的结果。
1975年，Paul Erdos和Graham证明，当n充分大时，有一个填充可以把余下无用的面积树值
降低到不超过k^7/11,即k^0.636+，k是外围正方形的边长
Hugh Montgomery把上界降低到了k(3-3^1/2)/2即k^0.633+
Graham为了使这一问题形象化，他考虑把单位正方形填充在边长为100000。1的大正方形内，按照他们的技术就可以放进100000^2+6400个单位正方形。
2003。6。12
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32。填充的奥妙（2）（推荐指数：3）
是否可以用从1开始的相邻正方形来铺满整个平面呢？
一个比较容易的问题：
用边长未必相邻而只是互不相同但边长为整数的正方形铺满整个平面。
2003。6。12
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33。填充的奥妙（3）（推荐指数：5）
容易证明，总面积为1的任意一组正方形可以不重合的放在一个面积为2的正方形中。
现在的问题是：假设一个长方形的具有单位宽度，那么它的最小长度是多少？
当然要保证能放下任意一组面积和为一正方形。
另一个问题：在所有可以保证放下任意一组面积和为1的长方形中，面积最小的是
哪一个？
如果不限制为长方形呢？答案还是一样的吗？
2003。6。12

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[这个贴子最后由虛竹子在 2003/08/02 10:46am 编辑] [url=./dispbbs.asp?BoardID=9&ID=118944]已经解决和部分解决的问题[/url]

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erdos已经证明了存在一个f(n)(好象是一个组合数),使得当点数大于f(n)时,就存在一个 n点组构成凸n边形(这是很多有趣的拉木器定理的一个),具体到6,已经证明37个点就可以保证. 但是有人猜想,只要2^(n-2)+1个点就可以保证,也就是17个点 但是没有人证明17个点不能保证,也没有人把37个点减小

引用:

下面引用由小吴在 2003/08/01 03:57pm 发表的内容： 17。（推荐指数：5。感觉也是很奇妙的结论，很有哲学的味道。） 平面上有若干点，每三个点不共线。问你需要几个点能保证其中有6个点组成凸形？ 我觉得任取N个点都不能保证其中有6个点组成凸形

[此贴子已经被作者于2004-5-17 18:51:02编辑过]

[url=./dispbbs.asp?BoardID=9&ID=118994]26题的一些讨论[/url]

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[这个贴子最后由bigtiptoe在 2004/03/11 02:19pm 编辑]

99.erdos猜想
对于一切n>1的正整数，方程4/n=1/x+1/y+1/z均有整数解  
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找到正整数m，使得1/m >= 4/n > 1/(m+1)，有以下两种情况：
a). n是偶数；则x=y=n, z=n/2
b). n是奇数；则得到
   1/m > 4/n  =>  n>4m
   4/n - 1/(m+1) = (4m+4-n)/(n*(m+1))
   由于n>4m，得到 4 > (4m+4-n) > 0
   所以有三种子情形：
b.1) 4m+4-n = 1；则x=y= 2*n*(m+1）, z= (m+1）
b.2) 4m+4-n = 2；则x=y= n*(m+1), z= (m+1）
b.3) 4m+4-n = 3；这种情形最复杂，此时 n = 4m+1，又分四种情形
b.3.1) m是奇数；则4/n = 1/(m+1) + 3/(n*(m+1))
               即x=n*(m+1)/2, y=n*(m+1), z=m+1
b.3.2) m是偶数，且m=6k+2，则4/n = 1/(m+1) + 3/(n*(6k+2+1))
               即x=y=2n*(2k+1), z=m+1
b.3.3) m是偶数，且m=6k+4，则4/n = 1/(m+2) + 7/(n*(6k+4+2))
               即x=n*(6k+6), y=n*(k+1), z=m+2
b.3.4) m是偶数，且m=6k, 怎么构造？？？

[url=./dispbbs.asp?BoardID=9&ID=121346]组合学中一些未解决的问题(1)[/url]
[url=./dispbbs.asp?BoardID=9&ID=121369]组合学中一些未解决的问题(2)[/url]
[url=./dispbbs.asp?BoardID=9&ID=121378]组合学中一些未解决的问题(3)[/url]
[url=./dispbbs.asp?BoardID=9&ID=121385]组合学中一些未解决的问题(4)[/url]

[此贴子已经被作者于2004-5-13 6:53:40编辑过]

[url=./dispbbs.asp?BoardID=9&ID=121350]多项式最值问题[/url]
[url=./dispbbs.asp?BoardID=9&ID=121337]平面上n个不同的点两两之间C(n,2)个距离[/url]
[url=./dispbbs.asp?BoardID=9&ID=121377]矩阵乘法的智巧[/url]
[url=./dispbbs.asp?BoardID=9&ID=118904]加法中的进位[/url]
[url=./dispbbs.asp?BoardID=9&ID=118850]一道囚犯的题目(转载)[/url]

[此贴子已经被作者于2004-5-17 19:12:22编辑过]

37。一类最大最小问题（推荐指数：5）
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在某个图形内放置点，使得这些点之间的距离的最小值最大，这一类问题
很多都很有趣，前几天给出的那个球面上的旅店就是一个。
现在再给出几个有趣的例子
1。正方形
2。圆
3。正三角形，这个最有趣，当n是三角形数时，即可以表示为n=k*（k+1）/2时
，最优解就是那种平凡的排列。你能证明这一点吗？：）


2003。6。12
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38。万能覆盖区域（推荐指数：4）
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能够覆盖任何一条长度为1的连通曲线的区域的面积最小是多少？
已知的最小的面积是(4+3^1/2)/24（请找出来）
有人证明：任何面积为0的区域不能覆盖（证明？）
另外的问题：所有长度为1的多边形曲线都可以用一块面积为0的区域覆盖（证明？）
如果曲线不限制在2维空间呢？比如3维？


2003。6。27
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41。万有曲线（推荐指数：5）
与一个半径为r的远的每条弦所在直线都相交的连通点集的长度的最小值是多少？
2003。6。27
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42。Janiper Green游戏（推荐指数：3）
玩这个游戏需要准备n张卡片，用1-n的数字分别给这些卡片编号。
把这些卡片按编号顺序正面朝上放在桌子上。
游戏规则如下：
1。两个游戏者轮流从桌子上取一张卡片，不再放回，也不能再次使用。
2。除了第一步外，以后所取的每一张卡片上的数字都必须是另一位游戏者上次所选数字的
整数因数或者倍数。
3。无法在选择一张卡片的一方为输。
4。游戏的第一步必须选择偶数。
求必胜策略。
2003。6。27
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43。递规循环的有理函数（请明白人给出有理递归函数的定义）
a，b，（b+1）/a，an=（1+a（n-1））/a（n-2）
一般的，设k元有理递归函数f（x1，x2。。。xk）有a1，a2。。。ak，an=f（an-k，an-k+1，。。。an-1）对于指定的k，周期最长是多少？
对于k=2，3，4已知的最长的周期分别是5，8，12。
2003。6。27
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45。n个字母的+-*/（推荐指数：3）
最坏情况下最少需要多少个括号?

这里面有几个问题需要澄清:
1.这个n个字母是独立变元(或者可以看作n个代数独立的实数?),当然我们还假设
它们使表达式有意义.
2.优先级的问题
(1)可以按现有的规定:*/相同,+-相同,*高于-,并且按从左向右的顺序
(2)也可以随意指定优先级别
3.转换前后的变元种类和数目的变化:
(1)变元的种类和数目都不变化,但顺序和结合方法可以改变
(2)变元的种类和数目可以变化,但不可以增加变元.
在(2)情况下,仅仅有+-*运算的最坏最小问题是平凡的,很容易知道这种情况下是0.
4.可能的推广
对于运算符+-*/的推广,把它们换成一些一般性的运算符
2003。8。26
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46。正方形中的点（推荐指数：5）【open】

在 n*n 的格点方阵中能否取出 2n 个点，使得其中无三点共线？
2003。8。26
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47。五子棋的问题（推荐指数：5）
n维空间的格点，两人轮流走棋
其中一个目的是使另一个人的连成一线（按原始定义）的数目最小。（如果
感觉这样的表述不够清晰，你可以认为步数充分大的时候会达到一个稳定态，
考虑那时候的连成一线的棋子数目）
问：是不是对任意的n,都有界？
有的话，给出一个估计。
试着在人数上推广这个问题

2003。8。26

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51。怎么算步数最少？（推荐指数：4）【open】
已知x,为了求出x^n,最少要做多少次乘法?假定中间运算的任何结果均可记住.

2003。8。26
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52。闭有界的严格凸图形的边界整点（推荐指数：5）
在平面上存在闭的有界的严格凸图形G,及无论多大的a,使得在aG的边界上至少存在[a^1/2]个整点.
当a等于完全平方整数时容易证明,其他的情况呢?
aG表示以原点为相似放射点(意会即可 呵呵)

2003。8。26
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53。最少需要多少个刻度？（推荐指数：3）【open】
一把直尺长n(n为正整数)米，问至少需要多少个刻度，才可以测量从1到n的所有整数长度？

2003。8。26
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57。射影平面的种类（推荐指数;5)【open】
射影平面是这样的集合
元素称作点，某些元素组成的子集称作线，点A在线a上，既A属于集合a.
它满足下面的性质：
1。任何两个不同的点在唯一的直线上
2。任何两个不同的线由唯一的点在这两个直线上
3。至少有四个点，其中任意三点不在一个直线上
4。至少有四条线，其中任意三条没有公共点
如果只有有限个点，可以证明线的条数和点的个数相等且为n^2+n+1的形式
并且每条线上有n+1个点，每一个点在n+1条线上。
我们称之为n阶射影平面

问题：对于怎样的n，存在n阶射影平面？
2003。8。26
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58。Coin tossing  经典问题（推荐指数：5）
抛掷得到面(H)，底Tail)的概率分别为0.5,0.5，         

做n次实验，请问连续得到H的最大次数的期望是什么？为什么呢？  

2003。8。26
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59。12345。。。。（推荐指数：2）
1.如果前面加上一个小数点0.。。。是超越数吗？
2.如果从中间某处截断，有可能是质数吗？

2003。8。26
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61。 凸包的分离递归式求法（推荐指数;3)
在一个平面上，有不共线的A，B，C三个点，它们组成了一个三角形，我们称由这个
三角形内部的所有的点所组成的集合为S（其中S包括三角形三条边上的点）。
  对于任意的一个区间[0，1]内的实数x，下面用递归的方式定义集合Sx：
  1.A,B,C三点是集合Sx中的元素.
  2.如果P1,P2是集合Sx中的元素，那么必定有：x*P1+(1-x)*P2也是Sx中的元素。
  3.如果一个不同于A,B,C三点的点P属于Sx，那么集合Sx中必定存在两个点P1,P2,满
足x*P1+(1-x)*P2=P.
  现在，如果把所有的Sx(0<=x<=1)做一个并集，定义为S'，很明显S' 是S的一个子集
，那么，是不是有S'=S?由于三角形内的点都可以写成下面的形式:aA+bB+(1-a-b)C的形
式，那么，对于一个点aA+bB+(1-a-b)C,我们能不能找到一个Sx,使得aA+bB+(1-a-b)C是
这个集合的元素？也就是说：我们能不能找到一个函数f(x,y)=z(0<=x,y,z,x+y<=1),使
得点xA+yB+(1-x-y)C是上面所定义的集合Sz中的元素？如果可以找到，那么这个函数是
什么？
  这个问题有一个地方很容易让人误解的地方.比如,对于三角形三条中线的交点E,有
的人可能会说,先有边AB的中点D属于集合S(1/2),然后再把A,D两个点连接起来,取它的1
/3分点,就可以得到E了.但是,D属于集合S(1/2),在这个集合当中,只能取1/2分点,不能用
1/3作为分点的.所以如果再要取下去的话,你只能去线段AD的1/2分点,也就是AD的中点.
这一点,希望大家不要误解.
  这个问题，是我以前做问题时派生出来的。我当时希望通过这条途径解决问题，我
当时已经用两种方法证明了f函数是存在的：在一种方法中，我用了一种只有我的师父和
我才认可的奇特的数学方法，我很难说服别人；另一种方法是：我为这个题目找到了很
好的哲学背景，很方便地论证了它的正确性。但是，我不能用普通的数学分析方法来证
明它的正确性。所以，我一方面希望能够找到一种一般学过高等书都能看懂的数学方法
来证明f函数的存在性。
  至于f函数的形式，很可惜，虽然我知道f不止一个，但是我一个也没有找出来。

2003.8.26
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62.正方形里的格子（推荐指数：5）
一个n*n的正方格，每一个小格里放一个整数
一共放进n*n个整数，而且
相邻两个格子的差的绝对值小于等于k(k是正整数）
问：这n^2个整数重复最多的那个数的重复次数最小值是多少？
要精确值
猜测：{n/k}（{a}表示不小于a的最小整数）
2004。1。9
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63。球面上的旅店（推荐指数：3）
在n维单位球面上放置若干个点，任意两点的距离大于等于r(r>0,为常数)
问：最多可以放置多少个点？
对于2维球的球面，即圆周的情况，是平凡的，我算的结果[pai/arcsin(r/2)]
对于r=2^1/2,结果是2n(猜测）
如果题目要求任意两点的距离大于r的话，则当r=2^1/2时，结果是n+1(可以证明）
一个例子n>1
n+1个n维向量(1,a,a...a),(a,1,a...a)....(a,a.....1),(a,a......a)
(-1/(n-1)<a<0)
2004。1。9
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64。长方形蛋糕（amigo提供，推荐指数：4）
制饼师父做了一个长方形蛋糕，但只有一个等面积的正方形盒子。 他打算把蛋糕切成几块，然后每块分别放进盒子。你会教他如何切？ 当然切的块数越少越好。
2004。1。9
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65。一个耗尽天才脑力的博弈问题（推荐指数：3）
5个囚犯，分别按1-5号在装有100颗绿豆的麻袋抓绿豆，规定每人至少抓一颗，而抓得最多
和最少的人将被处死，而且，他们之间不能交流，但在抓的时候，可以摸出剩下的豆子数
。问他们中谁的存活几率最大？？
　　　　提示：
　　　　1，他们都是很聪明的人
　　　　2，他们的原则是先求保命，再去多杀人
　　　　3，100颗不必都分完
　　　　4，若有重复的情况，则也算最大或最小，一并处死
2004。1。9
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66。 称小球的推广（推荐指数：5）（open）
如果有n个小球，其中m(m<=n)个坏球（重量一样）并且比正常球轻
一个天平,m是已知的
问：至少需要多少次可以把所有的坏球确定出来？
2004。1。15
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68。圆形跑道上的运动员[open](推荐指数：5）
假设在一个周长为1米的圆形跑道上有k个运动员a1,a2...ak
他们以v1,v2...vk的恒定速率且不改变转向的在跑道上跑
v1,v2..vk的大小各不相同。
问是否对任意的运动员ai，都存在一个时刻，使得其他的运动员和他之间的距离(圆周上的
)
都大于等于1/k?
参考论文：http://www.combinatorics.org/Volume_8/PDF/v8i2r3.pdf
2004。1。15
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69。完美分组问题【open】（推荐指数：5）
一个宴会可能来的人数是a1,a2....或an人。
a1,a2....an为任意的正整数
那么，预先至少要将一块大蛋糕分成几块（每块大小不一定相同），
使得无论参加宴会的是哪个人数，都可以完全均分切好的蛋糕。

2004。1。15
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[此贴子已经被作者于2004-7-17 9:32:21编辑过]

70。双色链（推荐指数：5）
已知平面上有2n个点，其中有n个红点，n个蓝点，任意三点不共线。按照红——蓝——红——蓝……红——蓝 或蓝——红——蓝——红……蓝——红的顺序把这2n个点用2n-1条线段连起来，称为一条“链” 。问对这些点的任意一个排布，是否都能找到一条链把这2n个点连起来，且任意两条线段间除端点外再无公共点？
2004。1。15
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71。空间两两相交的圆柱体【open】【推荐指数：4】
有n个圆柱体，长宽高不定（可随意变化），但都是一样的圆柱体
如何能使这n个圆柱体中任意两个都接触到
问n的最大值是多少？
It is possible to place 7 cigarettes in such a way that each touches the other if  (Gardner 1959, p. 115).
2004.1.15
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72.验血问题【open】【推荐指数：5】
:         
在某n人中有m人患病，现要通过验血把这m(m<=n,为已知)个人查出来，若
: 采用逐个化验的方法，要n-1次（化验次数一律采用最坏情况下的次数）。
: 为了减少化验次数，人们采用分组化验的方法，即把几个人的血样
: 混在一起，若化验合格，则说明几个人全正常。
: 试给出一种分组化验方法使化验次数尽可能少。

2004。1。15
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73.电阻的组合(推荐指数:4)
这里有无穷多的阻值为一个单位的电阻,用这些电阻通过并联和串联得到为m/n的阻值
其中n与m互质,求最少要用多少个阻值为一个单位的电阻
注：如果不能得出精确的表达式，给出一个效率高的程序也可以.
2004.1.23
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74.自然数的划分[open](推荐指数:4)
求Sn
设Sn是满足下列条件的最小整数：把{1，2，……，Sn}划分成n个子集，
总存在一个子集，其中有x+y=z(x,y,z不一定不同)的解
2004.1.23
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75.园的不相交覆盖[open](推荐指数:5)
有限个单位园所覆盖的面积为S,
让你选不相交的园
那么这些不相交的园的面积最大有多大(表示成S的函数)？
2004.1.23
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77.平面上不固定的n个点[open](推荐指数:3)
平面上不共线的n(n>2)个点，能确定的恰恰过两点的直线最少数目?
2004.1.23
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78.是否存在实系数多项式f(x)(推荐指数:5)
它的非0系数项比f(x)^2多
2004。1。23
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80.万有数列[open](推荐指数：5）
求最短的由1，2，3,...,n,组成的序列S(n)，它包括所有的（1，2，...，n）的排列。
当然，排列在S(n)中的数可以不相邻，只需顺序相同，
例如：S(3)=12321，其中包括123,132,321,231,但不包括213，312。
2004.1.23
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81.奇异形式的抽屉原理[open](推荐指数:5)
Is there a constant, A, such that any set in the plane of area A must contain the vertices of a triangle with area 1?

2004.1.23
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82.完美数[open](推荐指数:5)
是不是对每一个树，都存在一种放置
使得在这个树的每一个顶点上放置一个自然数
1，2，3。。n恰好被放一次。
并满足任意相邻两顶点的数值差的绝对值恰好取遍1，2。。。n-1
下面是一个例子
(5)         (1)---(4)
/           /
(7)---(3)---(9)---(2)
\     \
(6)   (8)
2004.1.23
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83.Perfect Golomb Ruler问题(推荐指数:4)
在一个国家里，国王要建N个城市，并且在它们之间建N—1条道路，使从每一个城市可
以走到另一个城市（每条道路连接两个城市，路不相交也不经过其他城市），国王要求
每两个城市沿路网的最小路程分别等于1千米，2千米，3千米，……(1/2)*n*(n-1)千米
，这样的要求能否做到？
2004.1.23
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84.相等的园[open](推荐指数:5)
在平面上有若干面积相等的园
当它们靠的更近时，所有园的并是不是不会增加？
靠近是指每两个园的距离都小于等于原来的距离。
2004.1.23
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85.格点问题[open]（推荐指数:5)
Is there a set S in the plane such that every set congruent to S contains exactly one lattice point?
注：congruent 是全等，應包括平移、反射和旋轉。
2004.1.23
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86.如何修墙(白金之星提供)(推荐指数:3)
一块边长1公里的正方形土地，  现要在这块地上修墙， 目的是能挡住所有通过该区域的水平视线， 要求墙的总长度越小越好， 你准备怎么建？
比如， 可以沿四条边修墙， 这样总长就是4公里； 也可以只沿三条边修墙， 这样总长就只有3公里了。。。

注： 请理想化考虑问题, 不考虑墙的厚度高度等因素。
2004.1.26
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88.[open]和正方形的所有顶点距离为整数的点（推荐指数:3)
正方形的边长为整数，并且该点在正方形所在平面上.

200.1.30

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91.[open]集合的问题(推荐指数:5)
A为一个有着n个有限集的集合，A中任意两个集合的并仍然是仍然是A中集合.
问:是否必然存在一个r(r是A中集合的元素),使得A中有大于等于n/2个集合包含r.
2004。1。30
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92.函数的构造(推荐指数:3)
构造一个定义在R上的实函数，在有理点取有理值，
并且在有理点可导且导数取无理数.
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93.级数的问题
假设
f(z)=a0+a1z+a2z^2+....anz^n+....
ai∈{0,1}
g(z)=f^2(z)=b0+b1z+b2z^2+......+bnz^n+.....
n
bn=∑a_i*a_n-i
i=0
存在M,使得对于所有的bi,有|bi|<M
证明或否定:
有无数个bi为0
出处:knuth 的<concrete mathematic>的execise 7-57
据说悬赏$500
2004.3.4添入
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94.连续的n个正整数[open]
猜测
任意连续n个正整数，总能找到一种方式与1，2，3。。。。n两两配对,使之每对都互质
2004.3.4添入

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96. 商高数猜想
对于正整数a,b,c,x,y,z，如果有a~2+b~2=c~2和a~x+b~y=c~z,则x=y=z=2
2004.3.4添入
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97.波文猜想
方程1~n+2~n+...m~n=(m+1)~n只有正整数解n=1,m=2.  

2004.3.4添入

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99.erdos猜想

对于一切n>1的正整数，方程4/n=1/x+1/y+1/z均有正整数解  
2004.3.4添入
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100.持久度问题
1、999  729  126  12  2
  2、679  378  168  48  32  6
  3、这个数列空中写几：
  8976841  96768  18144  （    ）  16  6
  答案就是：数列中每下一个数，是上一数各个位数的乘积。例如1、中的729=9*9*9，126=7*2*9……。
  这就是约30年前斯隆提出的持久度概念。并猜想：所有整数的持久度是有界量。
  这个概念，仍然是一个数论中的未解之迷。
注：持久度是指从初始值到最后为个位数所经历的变换的次数

2004.3.7添入
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101. 希托突马图猜测

有一些平方数具有这样的特征：只由两个十进制的自然数组成。
  例如：1444=38^2   7744=88^2    11881=109^2     29929=173^2
  44944=212^2    55225=235^2    9696996=3114^2
  希托突马图提出以下猜测：除了10^2n 4*10^2n   9*10^2n 以外，由俩种不同数字组成的平方数只有有限多个。
  这个猜想也是数论中尚未解决的一个难题。  
2004.3.7添入
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102.凸集中的问题

如果凸域被一条平分其周长的直线分成两部分,
则这两部分的面积之比的上下界又是怎样的?
2004.3.7添入
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103.格雷姆猜测

如果n+1,n+2,...,n+k是k个连续合数，则必可以找到k个不同素数分别整除这k个合数。    例如9个连续合数1802，1803，1805，1806，1807，1808，1809，1810可顺次被9个不同素数53、601、41、19、43、139、11、67、181整除。
  再比如13个连续合数114，115，116，117，118，119，120，121，122，123，124，125，126，可顺次被13个不同素数19，23，29，13，59，17，2，11，61，41，31，5，7整除。
  但是，一般情形的格雷姆猜想是否正确尚不得知，所以，目前还是一个未解之迷。

2004.3.7添入
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104.周期反射点
令T是一个具有光滑(这里光滑指具有连续的一阶导函数,相当于说在任何一个边界点都有固定切线，并且切线的方向连续变化)边界的凸图形台球桌(有界).
证明：对于任意的n>1,都存在一条具有n个反射点的周期性台球轨迹
周长最大时是可以的
证明：
   在所有的内接n边折线(它们的边可能相交)中，选取一个其周长达到最大值的.这将是一条台球轨迹。也就是说，在每一个反弹点上，入射角将等于反射角，因为如果不是这样，就将反弹点沿边界朝着同切线形成较大角的边稍稍移动一下，将会使周长变大(请证明这一点)
对于锐角三角形总存在一条具有3个反弹点的轨迹,反弹点就在各条高的垂足处,这次是通过寻找具有最小周长的内接三角形来解决的(你能证明吗?)
已经知道，对于各个角都是π 的有理数倍数的多边形，存在着周期性的轨迹(怎么证明?)
不过，关于各个角都是π 的无理数倍的钝角三角形却什么也不知道(你不想开垦这块处女地吗?)
2004.3.7添入
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105.证明或否定（由几何变换提出）
平面上一个由一条曲线所围的有限轴对称闭区域不能分解为两个不相交的合同部分(即不能分解为两个不相交的点集M、N,而存在一个合同变换,使M变为N).
2004.3.7添入
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